Co je to teplota?

Teploměr; co vlastně ukazuje za čísla? (jsp.cz)

V dalším díle našeho seriálu Co je to…? se vydáme po stopách pojmu, se kterým se denně setkáváme a bereme jej jako naprosto běžnou součást našich životů. V předpovědích počasí je to věc, která nás zajímá nejvíce hned za tím, jestli bude nebo nebude pršet. Když jsme nemocní, doufáme, že nepřesáhneme kritický bod, kdy dochází k denaturaci bílkovin, která vede ke smrti. Jedná se o fyzikální veličinu, které říkáme teplota, kterou ale málo z nás dokáže skutečně definovat.

Intuitivní představa a její nedostatky

Každý z nás ví, že existuje Celsiova teplotní stupnice, která je odvozená od fázových přechodů vody. Pokud voda může být naráz po dlouhou dobu ve stavu, že je v ní led i kapalná voda, řekneme, že má A jednotek. Pokud může být po delší dobu současně voda s párou, řekneme, že má B jednotek. Anders Celsius se rozhodl, že bude nejlepší, aby A mělo hodnotu 0 a B hodnotu 100.

Tepelná kapacita

Vyjděme z toho, že čím má těleso větší teplotu, tím větší v sobě ukrývá energii. Pokud tedy chceme těleso zahřát, musíme mu nějak dodat energii. Na čem množství této energie bude záviset? Určitě na množství látky, kterou máme, na rozdílu teplot, který chceme dosáhnout a na nějaké konstantě, která odpovídá tomu, s jakou látkou pracujeme. Matematicky zapsáno

kde jsme zavedli standardní značení pro teplotu T, konstanta C je ta, která nás zajímá. Ta nesmí být závislá ani na hmotnosti, ani na změně teplot, to znamená, že jednotkově .

Poznámka ke značení: Pokud dáme veličinu do hranatých závorek, znamená to, že se zaměřujeme na jeji jednotku. Abychom odlišili jednotky od veličin, píšeme fyzikální veličiny kurzívou, fyzikální jednotky klasickým písmem. Takže např. pro hmotnost je .

Situaci bychom samozřejmě mohli vyřešit tak, že teplota je bezrozměrná, dávalo by to smysl? Stejně bychom mohli položit bezrozměrně např. vzdálenost. Teplotní jednotka se tak bere jako základní jednotka spadající do soustavy SI.

Konstanta C, kterou jsme použili, se nazývá měrná tepelná kapacita a budeme na ní demonstrovat nedostatky intuitivního zavedení.

Význam teploty v našem intuitivním případu je tedy takový, že rozdíl dvou hodnot na teplotní stupnici pro danou látku v daném množství přesně definuje energii, kterou je potřeba dodat. Jinak řečeno se jedná pouze o naši vlastní škálu, v níž její dílky přiřazujeme jednotlivým stavům nějaké látky, abychom byli schopni vyjádřit vyjádřit, kolik energie – tepla – už daná látka přijala.

Nedostatky:

Teplota fotonů (tomshardware.sk)

• Tepelná kapacita závisí na hmotnosti. Ve známém Vesmíru ale existují nehmotné objekty, jimž můžeme přiřadit nějaké energetické hodnoty – typicky se jedná o fotony. Fotony jsou částice, které formují světlo, malá kvanta energie o hodnotě , kde je redukovaná Planckova konstanta. Znamená to ale, že pro libovolnou změnu teploty nemusíme dodat žádnou energii? Jaký je pak takový význam teploty, když nesouvisí s energií záření? Pro nehmotné částice je tedy důležité zavést teplotu jiným způsobem, který povede na jiný vztah pro tepelnou kapacitu.
• Zavedení teploty coby energie potřebné k přechodu od jednoho stavu ke druhému také nevysvětluje, proč můžeme led zahřívat, když taje na vodu, aniž by se jeho teplota měnila. Vnitřní energie ledu se samozřejmě zvyšuje, aby se roztrhaly vazby mezi molekulami, nicméně teplota se nemění. Historicky se to ošetřilo tak, že se tyto tzv. fázové přechody začaly popisovat jinými zákony. Význam teploty, jak jsme ji ale doteď pochopili, skutečně nedává smysl.

Moderní termodynamická teorie

Matematika přináší do světa vědy světlo, doslova ozařuje lidstvo svými výpočty, jejichž výsledky získáváme nové technologie a obrovský kus poznání o struktuře a chování našeho vesmíru, naší přírody a nás samotných.

Rozmysleme si, že nádoby s plynem nemohou být v rovnováze, pokud původně každá obsahovala jiný plyn. Plyny se totiž promíchají, čímž změní vnější vlastnosti. Ukážeme, že operace jsou fyzikální stavy v rovnováze je pojem, který lze matematicky formulovat pomocí ekvivalence. Že se skutečně jedná o takovou operaci, totiž říká 0. termodynamický zákon:

Pojďme si tedy ukázat, co pojmy transitivní operace a ekvivalence znamenají, načež definujeme teplotu za pomoci tohoto matematického kanónu.

• Binární operace mezi dvěma prvky je taková, jejíž výsledek je 0 nebo 1.
• Transitivní operace mezi dvěma prvky je taková, že pokud platí a zároveň , potom platí .
• Ekvivalence mezi dvěma prvky je transitivní binární operace . Matematicky bychom se museli zaměřit ještě na pár vlastností, tyto dvě nám ale říkají, že ekvivalence mezi dvěma prvky praví: „Tyto prvky jsou rovnocenné.“ Z pohledu ekvivalence je tedy jedno, který z nich vybereme.

Fyzikální aplikace

Ve většině případů pracují fyzici s pojmem fyzikální stav. Takový stav je daný různými parametry. Například systém o N hmotných částicích je charakterizovaný 3N vstupními polohami a 3N vstupními rychlostmi. Každá jedna taková kombinace 6N čísel je vyjádření fyzikálního stavu daného systému.

Intuitivní zavedení teploty; z pytle plného stavu vytvoříme pásy, které očíslujeme a této číselné škála pak říkáme teplotní stupnice (Václav Bára)

Nechť máme tedy velký pytel plný dat, plný fyzikálních stavů. Řekneme, že dva fyzikální stavy jsou vzájemně v rovnováze, pokud když je dáme k sobě, nijak se vzájemně neovlivní. Například dvě nádoby s plynem přiblížíme k sobě a odstraníme přepážku. Tak vytvoříme jednu nádobu s větším objemem. Pokud se ale stavy vzájemně neovlivní a vytvoří pouze větší systém se stejnými vlastnostmi, potom jsou tyto dva systémy vzájemně v rovnováze.

Jestliže je tedy vzájemná rovnováha ekvivalence, můžeme vysypat všechny fyzikální stavy z našeho pytle a začít je různě řadit. Vezmeme první fyzikální stav a za něj dáme první, který najdeme a je s ním ekvivalentní. A za něj další a další. A takhle vytvoříme obrovskou řádku plnou vzájemně ekvivalentních stavů. A pod ní uděláme další řádku. A takových řádek uděláme nekonečně mnoho, pokud chceme vystihnout veškeré fyzikální stavy.

Pokud máme takto vytvořené řádky, nazveme je třídy ekvivalence, tj. množiny ekvivalentních prvků. Takové třídy ekvivalence (pásy) můžeme očíslovat. Konkrétně to uděláme tak, aby žádné dva pásy neměly stejné číslo, to je jediný požadavek na očíslování.

Hodnoty tohoto očíslování jsou hodnoty veličiny, kterou nazveme empirická teplota. Empirických teplot je nekonečně mnoho, neboť očíslování lze nekonečně mnoha způsoby.

Druhý termodynamický zákon potom jednoznačně vybírá z této velké množiny empirických teplot jednu, která je nejpřirozenější danému systému, tu poté nazýváme termodynamická teplota. Na tu se více zaměříme v díle, v němž se budeme zabývat entropií.

Aplikace na hmotné částice

Pokud je předchozí definice alespoň trochu správná, musí dávat správné výsledky pro vodu a hmotu obecně. První termodynamický zákon nám říká, že změna vnitřní energie (označíme změnu písmenem d) je rovna dodanému teplu a práci. To znamená, že

kde trochu nepřesně značíme změnu u tepla a práce (exaktně není dodané teplo změna jako taková).

Druhý termodynamický zákon potom říká, že teplo lze napsat pomocí entropie

což vede k definici termodynamické teploty, jak podrobněji ukážeme příště. Finálně platí ve fyzice zákon maximalizace entropie, to znamená, že , kde chápeme entropii jako entropii všech součástí systému. Pokud tedy spojíme dvě nádoby s vodou o teplotách T₁ a T₂, dostaneme podmínku

Navíc ale energie nemůže nikam utíkat, a proto , což v lidském jazyce znamená, že teplo, které uvolní jedna část systému, přijme druhá. Dohromady tak dostaneme podmínku termodynamické rovnováhy !!! To je věc, kterou jsme doteď pouze předpokládali, že teploty se vyrovnají. Ale co s tepelnou kapacitou?

Tepelná kapacita je definována jako teplo při konstantním objemu systému, které způsobí změnu o jeden stupeň. Matematicky tak

kde entropii S je potřeba vyčíslit pro daný systém. Z první rovnice pro tepelnou kapacitu vidíme

což po integraci vede k

Teplotní rozdělení povrchu Marsu (astro.cz)

V poslední rovnici si můžeme všimnout menšího sporu, neboť nám zde chybí hmotnost m. Říkali jsme ale, že chceme vztah, který nebude závislý na hmotnosti, protože nehmotné částice by neměly šanci. Zde pro hmotné částice můžeme psát C = mc, čímž dostaneme požadovaný vztah, ale na rozdíl od starého přístupu máme matematický aparát pro počítání teploty záření, pokud dokážeme získat entropii záření.

Co si tedy můžeme odnést? Pokud se podíváme na to, co je to teplota uvědomíme si, že živí tvorové jsou schopni přežít jen v určitých teplotách, potom pokud se díváme na teplotní rozdělení na Marsu, můžeme rovnou říci, jestli námi známý život má nebo nemá šanci přežít. Jediným číslem totiž můžeme vyjádřit, jestli ta možnost existuje nebo ne. A přesně to je velký přínos matematiky ve vědě. Velice složitou a komplexní věc vyjádříme tak jednoduše, že jí umíme velice snadno porozumět!

A co v příštím díle?

Podíváme se na to, co je to entropie z pohledu statistické fyziky a ukážeme si, že nejen nepořádek na vašem stole zvyšuje entropii vašeho pokoje, ale že špatné přerovnání věcí, které vypadá na první pohled uklizeně, má naprosto stejný vliv. Tuto informatickou teorii o entropii aplikujeme na fotonové záření uvnitř černé krabičky a zjistíme, jak vyzařuje absolutně černé těleso.